Teorema de Envelope para Otimização Restrita | Produção | Economia

O teorema do envelope é explicado em termos do lema de Shepherd. Nesse caso, podemos aplicar uma versão do teorema do envelope.

Esse teorema é apropriado para o seguinte caso:

O teorema do envelope é um problema geral de maximização restrita e parametrizado da forma

Essa função é explicada como h (x 1, x 2 a) = 0. No caso da função de custo, a função é escrita como

A função acima explica um preço. O Langrangiano para esse problema pode ser escrito como

Para a função acima, precisamos pegar a condição de primeira ordem.

É o seguinte:

similarmente

A condição acima determina a função de escolha ideal (x 1 (a), x 2 (a)).

Determina a função de valor máximo:

O teorema do envelope nos fornece uma fórmula para a derivada da função value. É com relação ao parâmetro no problema de maximização. A fórmula é dada como

A interpretação de derivadas parciais precisa de cuidados especiais. Eles são os derivados de g eh com relação a uma exploração X 1 e x 2. Eles são os fixos em seus valores ótimos. A prova do teorema do envelope é direta e é calculada na seguinte equação.

Diferenciando a identidade acima para obter:

E se substituirmos a condição de primeira ordem da equação 51, obtemos a seguinte equação:

A partir da equação acima, podemos observar que a função de escolha ótima deve satisfazer identicamente as restrições.

É o seguinte:

Suponha, diferenciando essa identidade em relação a a, então temos,

Agora substituímos (54) por (53) para obter a seguinte equação:

A equação acima é necessária para interpretação adicional do resultado. Tais resultados podem ser usados ​​para o problema de minimização de custos. No problema de minimização de custo, o parâmetro pode ser escolhido para ser o preço do fator w i . A função de valor ótimo M (a) é uma função de custo. É apresentado como c (w, y).

O teorema do envelope explica que:

A função acima é simplesmente o Lema de Shephard. A prova é dada da seguinte forma. Vamos assumir que x 1 (w, y). É a demanda de fator condicional da empresa por insumos i. suponha que a função de custo seja diferenciável em (w, y) e wi> 0 para i = 1… .n.

Pode ser derivado da seguinte maneira:

Prova :

Vamos supor que x * é um pacote de minimização de custos. Produz y ao preço w *. Definimos a função como

Na equação acima, c (w, y) mostra que é uma maneira fácil de produzir y. Essa função é sempre negativa.

Em w = w *, g (w *) = 0. Como esse é um valor máximo de g (w) e já é dado. Sua derivada deve desaparecer.

Portanto, o vetor de entrada que minimiza o custo é dado pelo vetor de derivadas. É uma função de custo com relação aos preços. Podemos explicar o lema do pastor depois de adicionar a prova acima. O Lema do Pastor é um resultado importante em microeconomia. Tem aplicação na preferência de escolha do consumidor e na teoria da empresa. Ajuda a entender como o consumidor escolhe as mercadorias em seu pacote de consumo. O lema afirma que, se a CI de despesa ou função de custo é convexa, o ponto de minimização de custo de um determinado bem (i) com o preço p i é único.

O caso ideal é que o consumidor compre uma quantidade única de cada item. Esse item minimiza o preço para a obtenção de um certo nível de utilidade, dado o preço das mercadorias no mercado. Tal teoria e prova receberam o nome de Ronald Shepherd. Ele apresentou um trabalho de pesquisa em 1953. Em seu trabalho, ele deu uma prova usando a fórmula da distância. Mas essa fórmula já foi usada por John Hicks (1939) e Paul Samuelson (1947) em seu modelo. O lema fornece uma formulação precisa para a demanda de cada bem no mercado com relação a esse nível de utilidade e preços.

A derivada da função de despesa (e (p, u)) em relação ao preço é apresentada da seguinte forma:

Onde,

oi (u, p) é a demanda hicksiana pelo bem i.

E (p, w) mostra uma função de despesa e ambas são em termos de preço (um vetor p) e utilidade u.

Embora a prova original de Shepherd seja usada na fórmula da distância. É uma prova do lema do pastor no teorema do envelope.

 

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